Урок 14 Деформация сдвига (среза)

 

С этим видом деформации каждый из Вас многократно сталкивался, когда что-либо резал ножницами. Особенно характерно проявляется последовательность деформации (сначала сдвиг, а затем срез) если ножницы тупые и разболтанные. Обратите внимание на срез листового металла после гильотинных ножниц. Срез не перпендикулярен плоскости листа, а слегка наклонен, кроме того по направлению реза тянется заусенец. Представим эту деформацию графически

 Силы F – это силы, создающиеся лезвиями ножниц. Вся деформация происходит в зоне прямоугольника abcd,  который в результате деформации превращается в параллелограмм.

 Величина cc¹ ≈ dd¹ называется абсолютным сдвигом.

 cc¹/bc = tg γ ≈ γ – относительный сдвиг.

При сдвиге в сечении возникает только поперечная сила Q, следовательно и только касательные напряжения τ. Условие прочности записывается так:

  τ = Q/А  ≤  [τ]                                                                         

-         условие прочности при сдвиге (срезе)

При сдвиге (как и при растяжении) существует зависимость между напряжением и деформацией. Эта зависимость выражается законом Гука.

 τ = G*γ                                                                                    

- напряжения пропорциональны относительному сдвигу (Закон Гука).

G – модуль сдвига (МПа).   Между модулем упругости Е и модулем сдвига  G существует зависимость                        

G = Е/[2(1 + μ)],                                                                  

где μ – коэффициент Пуассона                             

При прочих равных условиях (одинаковые внутренние усилия, равные площади сечений) касательные напряжения более опасны, чем нормальные, поэтому [τ] <  [σ].

Рекомендуется  [τ] = 0,5…0,6 [σ].                                          

На сдвиг (срез) чаще всего приходится рассчитывать заклепки и сварные швы.

В качестве примера рассмотрим комбинированное соединение. 

Дано:  F = 10000 Н; σв = 400 МПа.

Определить: диаметры всех  заклепок и параметры сварного шва.

Запишем условие прочности

τ = Q/А  ≤  [τ]

Предположим, что условие работы конструкции средней опасности. Принимаем n = 4.

[σ] =  σ_в/ n = 400/4 = 100 МПа.      [τ] = 0,5 [σ] = 50 МПа.

Проанализируем рассчитываемую конструкцию. Она состоит из двух частей, работающих независимо друг от друга. Левая часть ( 3 заклепки) – это одна бригада; правая часть (заклепка и сварной шов) – вторая бригада. Поэтому решение задачи раскладывается на две части.

Рассмотрим левую часть.

В сечениях заклепок возникает поперечная сила Q_∑ = F = 10000 Н. Из условия прочности суммарная площадь срезов равна:    А_∑ ≥ Q_∑/[τ] = 10000/50 = 200 мм². Это общая площадь срезов, а нам нужна площадь одного среза. Для ее нахождения запишем простую формулу.

А_∑ = А₁*i*m,                                                                                                                       где А₁ – площадь одного среза; i – число заклепок; m – число срезов на одной заклепке.

А₁ = А_∑ /( i* m) = 200/(3*2) = 33,3 мм².

А₁ = π*d²/4 ≈ 0,8 d². Отсюда

d ≥ √ А₁/0,8 = √ 33,3/0,8  = 6,5 мм.

Диаметры заклепок должны быть не меньше 6,5 мм.

Изменим условия задачи.

Предположим, что у нас нет таких заклепок, а есть 2 заклепки диаметром 5 мм и много диаметром 4 мм. Вопрос: сколько заклепок диаметром 4 мм нужно добавить к 2-м заклепкам диаметром 5 мм.?

Получив исходные данные, всегда используйте их максимально, определяйте все, что они могут дать. В нашем случае:

А_1d5 = 0,8 d² = 0,8*5² = 20 мм². А_{∑ d5} = А_{1 d5}*i*m = 20*2*2 = 80 мм².

А_1d4 = 0,8 d² = 0,8*4² = 12,8 мм².

Общая площадь срезов А_∑ ≥ 200 мм². Из них 80 мм² займут заклепки диаметром 5 мм. На заклепки диаметром 4 мм останется А_ост. = 120 мм². Отсюда i ≥ А_ост./( А_1d4* m) = 120/(12,8*2) = 4,7.

Нужно дополнительно 5 заклепок диаметром 4 мм.

Проанализируйте внимательно весь ход нашего решения. Вы убедитесь, что имея всего лишь условие прочности и вспомогательную формулу (1.9), Вы можете решить любую задачу с заклепками, в любой ее постановке не зависимо от количества заклепок и количества срезов на них.

Предлагаю Вам самим составить для себя несколько расчетных схем и разобрать их.

 

Рассмотрим правую часть.

Здесь решение не однозначно, поскольку силу F удерживают два разных элемента: заклепка и сварной шов. Можем записать

Q_∑з + Q_∑ш = F.  Имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Для получения 2-го уравнения Вам самим придется решить, какую часть нагрузки Вы отдадите заклепке, а какую шву. Предположим, Вы решили Q_∑з = 0,2 F, соответственно Q_∑ш = 0,8 F. Теперь решение задачи можно продолжить.

А_∑з ≥ Q_∑з/[τ] = 2000/ 50 = 40 мм². А_1з = А_∑з /( i* m) = 40/(1*2) = 20 мм².

dз ≥ √ А_1з/0,8 = √ 20/0,8  = 5 мм.

А_∑ш ≥ Q_∑ш/[τ] = 8000/50 = 160 мм².

 

Из чего складывается суммарная площадь среза шва ?

В расчетах сварной шов рассматривается как равнобедренный прямоугольный треугольник (рис.1.10). Если шов лопнет, то он лопнет по самому тонкому месту, что составляет 0,7к. Очевидно, что шов лопнет по всей длине (две детали распались).

Отсюда: А_∑ш = 0,7к*l_∑, где l_∑ - общая длина шва.

Имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Одним из параметров задаются, а второй определяют. При сварке тонколистового материала обычно задают катет, равный толщине листа, а l_∑ определяют. Если места под сварку мало, задают l_∑ по контуру примыкания, неизвестным остается к. В каждом конкретном случае на этот вопрос Вам придется отвечать самим.

В нашем случае зададимся катетом – к = 3мм., тогда

l_∑ ≥ А_∑ш/(0,7*к) = 160/(0,7*3) = 76 мм.

Исходя из полученного результата, Вы выберете на конструкции места под сварку и укажете их на чертеже. При этом общая длина швов не менее 76 мм. 

Деформация смятия

При работе конструкций (особенно в динамическом режиме) в элементах соединений (болтовых, шпоночных и др.) возникает деформация смятия. Сечение элемента искажается, например, круглое сечение становится овальным, боковая поверхность шпонки увеличивается в размерах, при этом уменьшается ширина шпонки и т.д. В результате в соединении появляются не допустимые зазоры и люфты. Поэтому заклепки, болты, шпонки и др. кроме расчета на сдвиг, проверяют на смятие.

 

Боковая поверхность заклепки сминается (сжимается), следовательно на поверхности возникают нормальные напряжения σ_см. Условие прочности запишем в виде

         σ_см = F/А_см ≤ [σ]_см      - условие  прочности на смятие                            

Очевидно, что смять (раздавить) стержень труднее, чем его разорвать. Следовательно [σ]_см > [σ]. Рекомендуется  [σ]_см  ≈ 2[σ].

Осталось определить А_см.

Сминается боковая поверхность заклепки. При разных толщинах листов наибольшая деформация будет в зоне тонкого листа. А вот какая часть окружности попадет под смятие совершенно не очевидно. Считается, что эта часть будет не меньше d. Следовательно можно записать  А_см = h_min * d.

Деформация смятия – проверочный вид деформации,  то есть все материалы, размеры и силы известны. Ваша задача ответить на вопрос – выдержит или нет ?. Если ответ будет отрицательным, нужно увеличить А_см за счет d и h_min или количества заклепок.

Для практики рекомендую составить для себя несколько расчетных схем и разобрать их в численном виде.