Урок 11 Растяжение и сжатие. Методика решения практических задач

 

Методика решения практических задач

 Существует два вида расчетов: проверочный и проектировочный.

При проверочном расчете заданы все внешние силы, задан материал, известны все размеры проверяемой детали. Необходимо ответить на вопрос – выдержит деталь приложенные нагрузки или нет.

В проектировочном расчете известны нагрузки, задан или выбран материал. Необходимо подобрать оптимальные сечения детали.

Рассмотрим методику решения задач на примерах:

Запишем условие прочности

σ = Ν/Α ≤ [σ]

         Всегда начинайте с определения допустимых напряжений.

В нашем случае условия работы конструкции неопасные,

принимаем n = 2, тогда  [σ] = σ_в/n = 598/2 = 299 МПа

Известен диаметр стержня, можем найти площадь сечения

А = π*d²/4 = 3,14*16²/4 = 201 мм²

Используя метод сечений, найдем нормальные силы на участках стержня.

В нашей расчетной схеме стержень жестко защемлен, поэтому рекомендуется правило.

Если в расчетной схеме есть жесткая заделка (защемление), то в методе сечений отбрасывают именно ее, чтобы не определять реакции в этой заделке.

N₁ = F₁ = 1000 Н; 

N₂ = F₁ + F₂ = 1000 + 2000 = 3000 Н;

N₃ = F₁ + F₂ – F₃ = 1000 + 2000 – 5000 = - 2000 Н.

Построим эпюру нормальных сил.

Видим, что 1-й и 2-й участки стержня растягиваются, а 3-й участок сжимается.

Наиболее опасным является 2-й участок, поскольку в нем возникает максимальная по модулю внутренняя сила. Определим напряжения на этом участке.

 σ₂ = N₂/ А = 3000/201 = 14,9 МПа

Запас прочности n = σ_в/ σ₂ = 598/14,9 = 40

Нужен Вам такой запас прочности, если Ваша конструкция работает в неопасных условиях ?

Перейдем к проектировочному расчету. Подберем оптимальные сечения стержня.

В исходных данных не известен диаметр стержня.

В условии прочности выделим площадь сечения

Α ≥ Ν/[σ]

Α₁ ≥ Ν₁/[σ] = 1000/299 = 3,34 мм²; Α₂ ≥ Ν₂/[σ] = 3000/299 = 10,03 мм²;

Α₃ ≥ Ν₃/[σ] = 2000/299 = 6,69 мм².

Определим диаметры участков стержня

   d ≥ √4*А/π

d₁ ≥ √4*А1/π= √4*3,34/3,14 = 2,1мм

d₂ ≥ √4*А2/π= √4*10,03/3,14 = 3,6мм

d₃ ≥ √4*А3/π= √4*6,69/3,14 = 2,9мм

Определили минимальные диаметры, получился тонкий трехступенчатый стержень, который выдерживает приложенные нагрузки при принятых неопасных условиях работы. Очевидно, если условия работы были бы более опасными, мы приняли бы больший запас прочности и получили большие диаметры стержня.

Определим деформации участков стержня и всего стержня. Для этого воспользуемся 2-й записью закона Гука

          Δl = Ν*l/( Е*Α)

Δl_а = Ν₁*а/( Е*Α₁) = 1000*100/(2*10⁵*3,34) = 0,15 мм

Δl_в = Ν₂*в/( Е*Α₂) = 3000*150/(2*10⁵*10,03) = 0,23 мм

Δl_с = Ν₃*с/( Е*Α₃) = - 2000*200/(2*10⁵*6,69) = - 0,3 мм

Δl = Δl_а + Δl_в + Δl_с = 0,15 + 0,23 – 0,3 = 0,08 мм.

В нашем случае получили, что длина стержня почти не изменилась, поскольку растяжение на 1-м и 2-м участках компенсировалось сжатием 3-го участка. 

Рассмотрим еще один пример.

Предположим, что Вам необходимо сделать стеллаж. А чтобы он не упал вместе с грузом, нужно поставить подкосы.

В первую очередь необходимо оценить условия работы конструкции с точки зрения опасности. Под этим стеллажом будут ходить люди, поэтому надежность    его крепления должна быть высокой. Условие работы конструкции как минимум средней опасности. Принимаем n = 5. Тогда [σ] = σ_в/n = 370/5 = 74 МПа.

Из условия прочности выразим площадь Α ≥ Ν/[σ]

Осталось определить Ν.

Составим уравнение моментов относительно точки О.

Площадь сравнительно мала, проходит стальной пруток диаметром всего 8 мм.

Такой результат должен Вас насторожить. Тонкий пруток выдерживает сжатие, но может не проходить по устойчивости, то есть просто изогнется.

Вопросами устойчивости гибких стержней мы с вами займемся в конце раздела. В этой конкретной задаче еще необходимо проверить опорные элементы под настил стелажа на изгиб. Этот вид деформации тоже не оставим без внимания.

Видим, что при рассмотрении более-менее серьезной конструкции расчетами по одному виду деформации не обойтись. Необходимо владеть методиками расчета по всем видам деформаций.