Урок 18 Деформация изгиба

 

В инженерной практике рассчитывать на изгиб элементы конструкций приходится чаще всего. Эти элементы обычно называют балками. Мы тоже будем использовать этот термин. Рассмотрим изгиб балки, шарнирно закрепленной на двух опорах.

Видим, что при изгибе верхние волокна балки сжались, а нижние растянулись. Следовательно, основными напряжениями в сечениях балки будут нормальные напряжения σ. В произвольном сечении  I - I в общем случае могут возникнуть 3 внутренних усилия: N; Q; Мизг. Однако, в условии прочности учитывается только Мизг. Это не значит, что мы не должны уметь определять N и Q, особенно поперечную силу Q, поскольку в основном она определяет нагрузки в узловых точках балки.

Запишем условие прочности.

σ = Мизг /W ≤ [σ]                                                             

   - условие прочности при изгибе                                 

Здесь W – момент сопротивления сечения изгибу (см. геометрические характеристики сечений).

На рисунке показана эпюра напряжений по высоте сечения. Видим, что максимальные напряжения находятся на периферии сечения, при этом отрицательные напряжения в сжатых волокнах постепенно переходят в положительные напряжения в растянутых волокнах. В средних сечениях балки проходит нейтральный слой (σ = 0). Следовательно, при изгибе балки ее середина (по высоте сечений) не работает. Учитывая этот факт, для уменьшения веса конструкции, необходимо подбирать такие сечения, у которых основной материал расположен на периферии, а в середине он минимален.

На рисунке показано несколько стандартных профилей и дано соотношение их весов при одинаковых значениях W. За 1Р принят вес двутавра.

Анализируя данные, видим, что при одинаковой прочности наиболее легкой будет конструкция, выполненная из швеллера. Например, конструкция из швеллера весит 100 кг, аналогичная конструкция, выполненная из круга, будет весить 444 кг. А это деньги и не малые, учитывая стоимость металла. Кроме того, такая конструкция из-за больших массо-габаритных параметров будет не конкурентноспособной.

Задача.

 Нужно рассчитать опорные элементы под настил стеллажа. 

Дано:

q = 5000 Н/м; в = 0,8 м; σ_в = 370 МПа; n = 5;

[σ] = σ_в/n = 370/5 = 74 МПа.

Требуется:

подобрать прямоугольную тонкостенную трубу.

Решение.

Из условия прочности σ = Мизг /W ≤ [σ] выразим W.

W ≥ Мизг/[σ] = 400*10³/74 = 5405 мм³.

Для тонкостенной прямоугольной трубы Wх определяется по формуле.

Wх = δ*Н²*(3В/Н + 1)/3.

Предположим, что мы хотим использовать трубу, один из наружных размеров которой равен 40мм. Имеются трубы: 

1) 40х40х2; 

2) 40х40х2,5;     

3) 40х40х3; 

4) 40х60х2;

 5) 40х60х2,5; 

6) 40х60х3.

Нам желательна труба с наименьшим весом.

Находим Wх для каждой из труб.

Wх₁ = 2*38²*4/3 = 2888 мм³ < 5405 мм³ – не подходит.

Wх₂ = 2,5*37,5²*4/3 = 4688 мм³ < 5405 мм³ – не подходит.

Wх₃ = 3*37²*4/3 = 5476 мм³ > 5405 мм³ – подходит.

Wх₄ = 2*58²*(3*38/58 + 1)/3 = 6650 мм³ > 5405 мм³ – подходит.

Сравниваем две трубы по весу. Их веса пропорциональны площадям сечений.

А₃ = 4Н* δ = 4*37*3 = 444 мм².

А₄ = (2Н + 2В)* δ = (2*58 + 2*38)*2 = 384 мм².

Следовательно труба 40х60х2 легче трубы 40х40х3,

 больше того она прочнее в 6650/5476 = 1,2 раза.

Выбор ясен – принимаем трубу 40х60х2.